矩阵理论

前置：线性代数学习笔记3-5：秩1矩阵和矩阵作为“向量”构成的空间

线性子空间

空间

V

\mathbf V

V有子空间

V

1

\mathbf V_1

V1​（一组基为

α

1

,

α

2

,

.

.

.

,

α

k

\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k

α1​,α2​,...,αk​）和子空间

V

2

\mathbf V_2

V2​（一组基为

β

1

,

β

2

,

.

.

.

,

β

l

\beta_1,\beta_2,...,\beta_l

β1​,β2​,...,βl​），那么

子空间的和

V

1

+

V

2

\mathbf V_1+\mathbf V_2

V1​+V2​也是

V

\mathbf V

V的子空间，维数

r

<

k

+

l

r

r

基的求法： 将两个子空间的基 组合为矩阵

[

α

1

,

.

.

.

,

α

k

,

β

1

,

.

.

.

,

β

l

]

\bold{[\alpha_1,...,\alpha_k,\beta_1,...,\beta_l]}

[α1​,...,αk​,β1​,...,βl​]，那么该矩阵行初等变换后得到的

r

r

r个线性无关列就是

V

1

+

V

2

\mathbf V_1+\mathbf V_2

V1​+V2​的

r

r

r个基向量

子空间的交

V

1

∩

V

2

\mathbf V_1\cap \mathbf V_2

V1​∩V2​也是

V

\mathbf V

V的子空间，维数

k

+

l

−

r

k+l-r

k+l−r

基的求法：

V

1

∩

V

2

\mathbf V_1\cap \mathbf V_2

V1​∩V2​中的向量，必须满足既能由

V

1

\mathbf V_1

V1​的基表出，也能由

V

2

\mathbf V_2

V2​的基表出，即满足方程

x

1

α

1

+

x

2

α

2

+

.

.

.

+

x

k

α

k

=

y

1

β

1

+

y

2

β

2

+

.

.

.

+

y

l

β

l

x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_k\alpha_k=y_1\beta_1+y_2\beta_2+...+y_l\beta_l

x1​α1​+x2​α2​+...+xk​αk​=y1​β1​+y2​β2​+...+yl​βl​ 我们需要若干组系数

x

1

,

.

.

.

,

x

k

x_1,...,x_k

x1​,...,xk​（或

y

1

,

.

.

.

,

y

l

y_1,...,y_l

y1​,...,yl​）来表出

V

1

∩

V

2

\mathbf V_1\cap \mathbf V_2

V1​∩V2​的基向量，因此问题转化为求解方程

[

α

1

,

.

.

.

,

α

k

,

β

1

,

.

.

.

,

β

l

]

x

=

0

\bold{[\alpha_1,...,\alpha_k,\beta_1,...,\beta_l]x=0}

[α1​,...,αk​,β1​,...,βl​]x=0，方程有

k

+

l

−

r

k+l-r

k+l−r个无关的解，每个解对应的系数

x

1

,

.

.

.

,

x

k

x_1,...,x_k

x1​,...,xk​（或

y

1

,

.

.

.

,

y

l

y_1,...,y_l

y1​,...,yl​）给出了

V

1

∩

V

2

\mathbf V_1\cap \mathbf V_2

V1​∩V2​的一个基

子空间的并

V

1

∪

V

2

\mathbf V_1\cup \mathbf V_2

V1​∪V2​一般不是

V

\mathbf V

V的子空间（不满足空间的加法封闭性）

非平凡子空间

对于任何空间而言，无需任何额外信息，即可知道他的两个子空间：{0}和整个空间本身

这两个子空间称为“平凡子空间”，除此以外的子空间都是“非平凡子空间”（必然是不满秩的子空间）

空间分解

整个空间可以分解为两个子空间

V

1

\mathbf V_1

V1​和

V

2

\mathbf V_2

V2​，且两个子空间相加得到整个原空间 空间分解的本质，就是对基的分解 并且，一般的空间分解满足，

V

1

+

V

2

\mathbf V_1+\mathbf V_2

V1​+V2​的基 =

V

1

\mathbf{V_1}

V1​的基+

V

2

\mathbf{V_2}

V2​的基-

V

1

∩

V

2

\mathbf{V_1} \cap \mathbf{V_2}

V1​∩V2​这个交集的基 由上，进一步有

d

i

m

(

V

1

+

V

2

)

=

d

i

m

V

1

+

d

i

m

V

2

−

d

i

m

(

V

1

∩

V

2

)

dim(\mathbf V_1+\mathbf V_2)=dim\mathbf V_1+dim\mathbf V_2-dim(\mathbf{V_1} \cap \mathbf{V_2})

dim(V1​+V2​)=dimV1​+dimV2​−dim(V1​∩V2​)

特殊的空间分解：直和分解

上面的情况，空间分解后，两个子空间有公共的基向量； 我们也可以分解使得

V

1

\mathbf V_1

V1​和

V

2

\mathbf V_2

V2​没有有公共的基向量，这就是直和分解 或者说，普通的空间分解和直和分解，都是分解空间的基底，区别是直和分解完全解耦、分解出两组基

可见，直和分解，就是将原空间的基分为两组、分别张成两个自空间（没有公共的基）

进而，N维空间，可以不断分解为N个一维子空间的和

空间中的任意向量，可以表示为子空间

V

1

\mathbf V_1

V1​中向量和子空间

V

2

\mathbf V_2

V2​中向量的叠加，如果这种表示是唯一的，称为直和分解

如图，左侧做空间分解后，空间中任意向量的表示是唯一的，这是直和分解； 右侧则不是直和分解，因为

V

1

\mathbf V_1

V1​和

V

2

\mathbf V_2

V2​有公共的基（

S

∩

U

≠

{

0

}

\mathbf{S} \cap \mathbf{U}\neq \{0\}

S∩U={0}），从而导致了任意向量的表示不唯一（可以

V

1

\mathbf V_1

V1​多贡献一些分量，也可以

V

2

\mathbf V_2

V2​多贡献）直和分解的判定:

矩阵理论学习推荐：矩阵理论学习导引